Polynomial Theory of Complex Systems

PAPER REVIEW

파송송 2022. 9. 14. 16:57

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PAPER EDITOR'S PREFACE

this paper의 algorithm은 일반적으로 2차 다항식을 사용함
각 요소가 일반적으로 2개의 입력을 받아들임
\( y = A_{2}(X) = a_{0} + a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{1}^{2}+a_{4}x_{2}^{2}+a_{5}x_{1}x_{2} \)
\( A_{2}(X) \) 는 input의 차수가 2라는 뜻

threshold를 사용하여 harmful한 요소를 버리는 방식을 택하여 \( x_{i} \) 에 맞는 multinomial fit를 찾음
hypothesis 1 : composite control systems (복합 제어 시스템)이 시스템 요소 전체를 제어하는 신호를 기반으로 해야함
hypothesis 2 : 인공두뇌학에서 주의깊게 연구되어야 함

얻고자하는 특성을 가질 수 있는 식물 파종(elementary algorithms)
fisrt crossing 발생 (a generation of combinations of first complexity); 첫번째 복잡성의 조합; 1세대
1세대 수확하여 일정 씨앗 선택(first threshold self-selection); goal에 가까운 식물의 씨앗 선택됨, 선택된 식물 파종 (a generation of combinations of second complexity); 두번째 복잡성의 조합; 2세대
2세대 수확하여 특정 씨앗 선택(second threshold self selection)

selection process 규칙
- 각 세대마다 일정한 수의 씨앗을 뿌림 (수를 달리하면 속도가 느려짐)
- 한 세대에서 selection을 완료할 수 없고 최소 3, 4세대가 필요함 (세대가 길어지면 성능이 떨어짐)

첫번째 layer가 \( A_{2}(X) \)의 기능을 구현함
Input : \( X_{n} = (x_{n1}, \ldots ,x_{np}), n = 1, \ldots ,N \), Output : \( \phi_{n} \)
\( \phi_{1} = a_{0}+a_{1}x_{1i}+a_{2}x_{1j}+a_{3}x_{1i}^{2}+a_{4}x_{1j}^{2}+a_{5}x_{1i}x_{1j} \)
\( \phi_{N} = a_{0}+a_{1}x_{Ni}+a_{2}x_{1j}+a_{3}x_{Ni}^{2}+a_{4}x_{Nj}^{2}+a_{5}x_{Ni}x_{Nj} \)

\( \Phi :order = N \times 1,
X : order = N \times 6,
A : order = 6 \times 1\)

hypersurface - hypothesis function
A complex multidimensional decision hypersurface은 polynomials input으로 approximate 될 수 있음
hypersurface는 여러 백터의 간단한 함수로 표현됨
입출력을 approximate하기 위해 쓰인 method는 multilayered perceptronlike network structure임
threshold는 hypersurface에 적합한 다항식을 식별하기 위해 쓰이고 each layer에 존재함
input properties 중 최상의 combinations이 다음 layer에 전달됨
network의 each layer는 두개의 입력으로 비선형 함수를 구현함

미분방정식을 기반으로 하는 모던제어이론은 복잡한 제어 시스템의 문제를 해결하기에 적합하지 않음
입출력 경로를 추적해야하는데 추적하는 것이 어렵기 때문에 a deductive deterministic approach를 사용할 수 없음
heuristic self-organization이 문제를 푸는데 도움이 될 것 같음
- 휴리스틱 heuristic - 제한적으로 주어진 상황에서 문제를 해결하기 위해 사용하는 직관적 방식

위의 example ; selection의 예시를 또 들고오자면 어떠한 식물이 특정 특성을 가지고 있는지 모르기에 가능한 모든 입출력 조합을 생성하고 비교함. Self-organization이란 threshold self-selections를 사용하는 것(수학적 조합 방법과, 다양한 휴리스틱 기준)
"Examinations" of the threshold type는 식물 선택에서 널리 사용됐음. 원하는 식물을 얻기 위해 특성이 더 뚜렷한 세대를 선택하는 것
입력에 대한 수학적 복잡성은 세대(layer)마다 증가해야함
다항식을 기본으로 사용하고 베이즈 식을 이용하여 확률 등을 얻음

이전의 The formulas of a predictive model은 미래 값 예측에만 쓰였음
The polynomial theory은 the general investigation of complex dynamic systems(복잡한 동적 시스템의 general 구하기)로 쓰임
predictive polynomial은 output을 input과 열결하는 regression equation임

해결
- 입출력의 complexity을 설명할 방법을 찾음
advantages
- polynomial 자체가 질문의 해답이기에 초기 조건과 해답에 대한 정보가 필요하지 않음
- statics와 dynamics가 구별되지 않음 (정태와 역학)
- The aforementioned regression analysis을 미분 계수를 추정하기 위해 사용할 필요가 없음
  - polynomial을 통해 직접 사용한다 ( 계산량이 줄어듦)
정리 : polynomial을 사용하면 polynomial이 최적의 복잡도를 가지는 모델이고 이에 해당하는 비선형 미분 방적식을 찾는 것은 불가능함

deterministic system에 대해서 polynomial theory를 사용하는 것에 대한 장점을 명확하지는 않지만 필수적으로 사용해야함
polynomial theory를 통해 최적화된 방정식을 찾을 수 있으며 non-linear system의 구조 변환을 단순하게 만들 수 있음
lag differences 를 통해 predicting equation을 얻음
lead differences를 통해 control equation을 얻음
- control equation은 변수의 output값을 포함하지만 predictiong equation은 포함하지 않음
- predicting equation은 output값을 예측하는데 사용함
input \(x\)와 output \(y\)의 predicting equation
- \( y_{F} = F_{1}(y_{F-1},y_{F-2},y_{F-3}, \ldots ,x_{F-1},x_{F-2},x_{F-3}, \ldots ) \)
input \(x\)와 output \(y\)의 control equation
- \( y_{F} = F_{2}(y_{F-1},y_{F-2},y_{F-3}, \ldots ,x_{F-1},x_{F-2},x_{F-3}, \ldots ) \)
가장 simplest 한 optimaization equation
- \( \frac{ \partial y_{F}}{ \partial x_{F}} \)

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